Колесо движется по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Скорость центра колеса постоянна и равна \(v\). Точка \(A\) принадлежит ободу колеса, на рисунке показано её начальное положение. Определите диапазон, в котором меняется радиус кривизны траектории точки \(A\). Найдите радиус кривизны траектории точки \(A\) в тот момент, когда ось колеса пройдёт путь \(2R\).

1) от \(0\) до \(4R\); 2) \(\rho_A \approx 3{,}37\,R\).

Радиус кривизны траектории точки обода — «Газпром» 2024/25, 11 кл., задача 4

Радиус кривизны траектории точки обода
«Газпром» 2024/25, 11 кл.
6/10
Колесо движется по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Скорость центра колеса постоянна и равна \(v\). Точка \(A\) принадлежит ободу колеса, на рисунке показано её начальное положение.
1. Определите диапазон, в котором меняется радиус кривизны траектории точки \(A\).
2. Найдите радиус кривизны траектории точки \(A\) в тот момент, когда ось колеса пройдёт путь \(2R\).
▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Для качения без проскальзывания удобно пользоваться мгновенным центром скоростей. Скорость точки обода пропорциональна её расстоянию до него.
Ответ
1) от \(0\) до \(4R\); 2) \(\rho_A \approx 3{,}37\,R\).
Решение
Радиус кривизны точки: \(\rho_A = \dfrac{v_A^2}{a_n}\), где \(M\) — мгновенный центр скоростей.

Скорость точки \(A\) меняется от \(0\) до \(2v\) за один оборот колеса, поэтому радиус кривизны меняется в пределах от \(0\) до \(4R\).

Путь центра колеса \(S = 2R = \varphi R\), откуда угол поворота колеса \(\varphi = 2\) рад. Из геометрии \(AM = R\sqrt{2 - 2\cos\varphi}\), скорость точки \(v_A = \omega \cdot AM = v\sqrt{2 - 2\cos\varphi}\). Нормальное ускорение \(a_n = \dfrac{v^2}{R}\sin\dfrac{\varphi}{2}\).

Тогда \[\rho_A = \frac{v_A^2}{a_n} = \frac{R\,(2 - 2\cos\varphi)}{\sin\frac{\varphi}{2}} \approx 3{,}37\,R.\]
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Радиус кривизны траектории точки обода

Радиус кривизны траектории точки обода

Похожие задачи