Луч в полушаре с зеркальным дном

Зеркало не меняет длины пути луча. Удобно заменить отражение продолжением хода луча в полном шаре: тогда внутри шара получается хорда. Угол падения найдите по координатам точки \(A\).

Направляющий вектор падающего луча \((1, 0, 0)\), радиус-вектор точки падения \((-x_0, y_0, z_0)\) с \(z_0 = \sqrt{R^2 - x_0^2 - y_0^2}\). Угол падения \(\alpha\): \(\cos\alpha = x_0/R\), \(\sin\alpha = \sqrt{1 - x_0^2/R^2}\).

Закон преломления: \(\sin\beta = \dfrac{\sin\alpha}{n}\), откуда \(\cos\beta = \sqrt{1 - \dfrac{1 - x_0^2/R^2}{n^2}}\).

Геометрическая длина пути внутри шара \(L = 2R\cos\beta\), оптическая длина \(nL = 2nR\cos\beta\). Отсюда \[\frac{L_{\text{опт}}}{R} = 2n\cos\beta = 2\sqrt{n^2 - 1 + \frac{x_0^2}{R^2}} = 2\sqrt{1{,}5} \approx 2{,}45.\]