След мела на доске

Сравните время \(\tau\) с временем, за которое мел разгоняется до скорости доски при скольжении.

Когда доске резко сообщают скорость, мел начинает скользить по доске и движется с постоянным ускорением \(a = kg\) (причём движение мела относительно доски происходит в направлении, противоположном направлению движения доски). Если за то время, пока доска движется, мел успевает приобрести скорость доски, то он проходит по доске путь \(S = \dfrac{v_0^2}{2kg}\), а дальше движется вместе с доской. Поэтому след на доске имеет длину \(S\). Если теперь доску мгновенно остановить, мел будет двигаться относительно доски в противоположную сторону и пройдёт точно такой же путь до остановки (т.к. его начальная скорость и ускорение такие же). Поэтому мел остановится в той же точке, где он находился до сообщения доске скорости, и, следовательно, длина следа равна \[S = \frac{v_0^2}{2kg}. \qquad (*)\] Если время \(\tau\) мало (\(\tau < v_0/(kg)\)), то мел не успевает приобрести скорость доски, а до остановки проходит расстояние \[S_1 = v_0\tau - \frac{kg\tau^2}{2}, \qquad (**)\] которое меньше, чем расстояние \((*)\). Если теперь доску остановить, то мел относительно доски будет иметь скорость \(kg\tau\) и пройдёт в обратную сторону до остановки следующий путь \[S_2 = \frac{kg\tau^2}{2}. \qquad (***)\] Поскольку \(kg\tau < v_0\), то «обратный» путь мела по доске \(S_2\) меньше «прямого», поэтому длина следа на доске равна \(S_1\) \((**)\).

Итак, длина следа мела на доске определяется формулой \((*)\), если \(\tau > v_0/(kg)\), и формулой \((**)\), если \(\tau < v_0/(kg)\). В первом варианте: \(\tau = 1\) с, \(k = 0{,}3\), \(v_0 = 5\) м/с. Поэтому \(\tau < v_0/(kg)\). Длина следа \[S_1 = v_0\tau - \frac{kg\tau^2}{2} = 3{,}5~\text{м}.\]