Теплоёмкость гелия при V = V0 + αT

Выразите давление через объем с помощью уравнения состояния и первого начала термодинамики для малого количества теплоты.

Сообщим газу малое количество теплоты \(\delta Q\), найдем приращение температуры \(\Delta T\) и теплоемкость \(C = \dfrac{\delta Q}{\Delta T}\). По первому закону термодинамики \(\delta Q = \delta A + \Delta U\), где \(\delta A = p\,\Delta V\), а для одноатомного газа \(\Delta U = \dfrac{3}{2}R\,\Delta T\) (один моль). Из \(V = V_0 + \alpha T\) следует \(\Delta V = \alpha\,\Delta T\), а давление из уравнения Клапейрона–Менделеева \[p = \frac{RT}{V} = \frac{R\,(V - V_0)}{\alpha V}.\] Поэтому \[C = \frac{3}{2}R + p\,\alpha = \frac{5}{2}R - \frac{R V_0}{V}.\] Теплоемкость монотонно растет с объемом, минимальное значение достигается при \(V = V_0\), максимальное — при \(V = 2V_0\): \[C_{\min} = \frac{3}{2}R, \qquad C_{\max} = \frac{5}{2}R - \frac{1}{2}R = 2R.\]