Цепочка падает в отверстие

Пока цепочка лежит на столе, ее звенья вовлекаются в движение, и на падающую часть действует сила со стороны лежащих звеньев. Найдите ускорение падающего конца.

Пока часть цепочки лежит на столе, ее ускорение не равно ускорению свободного падения: движущимся звеньям приходится вовлекать в движение покоящиеся, для этого нужна сила. Пусть скорость цепочки в некоторый момент \(v\). За время \(\Delta t\) начнет двигаться кусочек длиной \(v\,\Delta t\), изменение его импульса \(\Delta p = \lambda v^2\,\Delta t\) (\(\lambda\) — масса единицы длины цепочки). Сила, действующая на покоящиеся звенья, \(F = \lambda v^2\), и по третьему закону Ньютона такая же сила действует на падающие звенья. Второй закон Ньютона для падающей части цепочки длиной \(x\): \[\lambda x\,a = \lambda x\,g - \lambda v^2 \quad\Rightarrow\quad a = g - \frac{v^2}{x}.\] Для равноускоренного движения без начальной скорости \(v^2 = 2aS\), где \(S\) — пройденный путь. Тогда \(v^2 = 2\,\dfrac{g - a}{2}\,x\), и движение цепочки равноускоренное с ускорением, удовлетворяющим уравнению \(a = \dfrac{g - a}{2}\). Отсюда \(a = \dfrac{g}{3}\). Для конца цепочки \[x(t) = \frac{g}{3}\cdot\frac{t^2}{2}.\] Цепочка коснется пола, когда \(x = h\), т.е. \(t = \sqrt{\dfrac{6h}{g}}\).