Ускорение свободного падения на некоторой планете зависит от высоты \(x\) от поверхности по закону \(g(x) = g_0 - \alpha x\) при \(0 < x < g_0/\alpha\) и \(g(x) = 0\) при \(x > g_0/\alpha\), где \(g_0\) и \(\alpha\) — положительные постоянные. Найти вторую космическую скорость для данной планеты.

\(v_0 = \dfrac{g_0}{\sqrt{\alpha}}\).

Вторая космическая скорость при g(x) — Росатом 2020/21, 11 кл., задача 2

Вторая космическая скорость при g(x)
Росатом 2020/21, 11 кл.
4/10
Ускорение свободного падения на некоторой планете зависит от высоты \(x\) от поверхности по закону \(g(x) = g_0 - \alpha x\) при \(0 < x < g_0/\alpha\) и \(g(x) = 0\) при \(x > g_0/\alpha\), где \(g_0\) и \(\alpha\) — положительные постоянные. Найти вторую космическую скорость для данной планеты.
▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Работа силы тяжести при подъеме равна площади под графиком \(m\,g(x)\) как функции высоты. Какой высоты достигает область притяжения планеты?
Ответ
\(v_0 = \dfrac{g_0}{\sqrt{\alpha}}\).
Решение
Область притяжения планеты простирается до высоты \(h = g_0/\alpha\), выше которой ускорение свободного падения равно нулю. Минимальная скорость, при которой тело покинет планету, — это скорость \(v_0\) на поверхности, при которой скорость тела на высоте \(h\) станет равной нулю. По теореме об изменении кинетической энергии \[-\frac{m v_0^2}{2} = A,\] где \(A\) — работа силы тяжести при подъеме от поверхности до высоты \(h\). Работа равна площади под графиком зависимости \(-m\,g(x)\) от \(x\) (график — треугольник): \[A = -m\int_0^{h} g(x)\,dx = -\frac{m g_0^2}{2\alpha}.\]

Отсюда \(v_0 = \dfrac{g_0}{\sqrt{\alpha}}\).
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Вторая космическая скорость при g(x)

Вторая космическая скорость при g(x)

Похожие задачи