Проволочное кольцо с контактами

Мощность в кольце равна \(I^2R\), где \(R\) — сопротивление кольца при данном включении. Найдите сопротивления кольца в обоих случаях как сопротивления параллельно соединённых дуг.

При включении кольца в цепь двумя точками получаем участок цепи, образованный двумя дугами кольца между точками включения, соединёнными параллельно. По закону Джоуля–Ленца мощность \[P = I^2 R ,\] где \(I\) — сила тока, втекающего в кольцо, \(R\) — сопротивление кольца при данном включении. Поскольку в обоих включениях ток одинаков, отношение мощностей равно отношению сопротивлений: \[\frac{P_1}{P_2} = \frac{R_1}{R_2} ,\] где \(R_1\) и \(R_2\) — сопротивления кольца при первом (левый рисунок) и втором (правый рисунок) включениях.

Пусть сопротивление провода кольца равно \(r\). В первом случае дуги имеют сопротивления \(r_1 = \dfrac{1}{3}r\) и \(r_2 = \dfrac{2}{3}r\), поэтому \[R_1 = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{2}{9}\,r .\] Во втором случае \(r_1 = \dfrac{1}{2}r\) и \(r_2 = \dfrac{1}{2}r\), поэтому \[R_2 = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{1}{4}\,r .\] Отсюда \(\dfrac{P_1}{P_2} = \dfrac{8}{9}\) и \[P_2 = \frac{9}{8}\,P_1 = 126~\text{Вт} .\]