Балансир (теоретический тур)

Правило моментов относительно точек крепления пружин даёт их силы натяжения. Затем сравните давления под поршнями: по закону Гука найдите деформации пружин и выразите разность уровней жидкости через \(M\).

Введём обозначения: \(T_1\), \(l_1\) и \(\Delta l_1\) — сила упругости, длина и деформация левой пружины; \(T_2\), \(l_2\) и \(\Delta l_2\) — сила упругости, длина и деформация правой пружины; \(\Delta h\) — разница высот между поршнями.

Силы упругости пружин найдём из правила моментов для балки относительно точек крепления правой и левой пружин: \[T_1 \cdot 4l = Mg\cdot l, \qquad T_2 \cdot 4l = Mg\cdot 3l,\] откуда \[T_1 = \dfrac{1}{4}Mg, \qquad T_2 = \dfrac{3}{4}Mg.\] Таким образом, давление под правым поршнем будет выше, чем под левым (площади отличаются в 2 раза, а силы — в 3). Значит, левый поршень поднимется, а правый опустится.

Из закона Гука: \[\Delta l_1 = \dfrac{Mg}{8k}, \qquad \Delta l_2 = \dfrac{3Mg}{4k}. \tag{1}\] Из условия равенства давлений на дне сообщающихся сосудов: \[\dfrac{Mg}{8S} = \rho g\,\Delta h, \qquad \dfrac{3Mg}{4\cdot 2S} = \dfrac{Mg}{4\cdot S} + \rho g\,\Delta h. \tag{2}\] Поскольку балка горизонтальна: \[l_1 - \Delta l_1 + \Delta h = l_2 - \Delta l_2. \tag{3}\] С учётом разницы длин пружин: \[\Delta h = l - \Delta l_2 + \Delta l_1 = l - \dfrac{3Mg}{4k} + \dfrac{Mg}{8k}. \tag{4}\] Подставляя (4) в (2), получим \(\dfrac{Mg}{8S} = \rho g\left(l - \dfrac{5Mg}{8k}\right)\). Откуда \[M = \dfrac{8\rho S l k}{5\rho g S + k}.\]