Счёт ступенек эскалатора

Число ступенек равно перемещению человека относительно эскалатора, делённому на длину одной ступеньки. Запишите оба перемещения через скорость человека \(v\) и скорость эскалатора \(u\).

Пусть скорость человека в первом случае \(v\), во втором — \(2v\), скорость эскалатора — \(u\), длина эскалатора — \(l\), длина одной ступеньки — \(\Delta l\). Число ступенек равно перемещению человека относительно эскалатора, делённому на \(\Delta l\).

В первом случае скорость человека относительно эскалатора равна \(v\), поэтому он затрачивает время \(l/(v+u)\), за которое эскалатор проходит расстояние \(lu/(v+u)\). Относительно эскалатора человек перемещается на \(l\bigl(1 - u/(v+u)\bigr)\), и насчитывает \[n_1 = \frac{lv}{\Delta l\,(v + u)}.\] Во втором случае аналогично \[n_2 = \frac{2lv}{\Delta l\,(2v + u)}.\] Деля эти равенства друг на друга и вводя \(x = u/v\), получаем \[\frac{n_1}{n_2} = \frac{2 + x}{2(1 + x)}, \qquad x = \frac{2(n_2 - n_1)}{2n_1 - n_2}.\] Когда человек идёт по неподвижному эскалатору, он насчитает \(l/\Delta l\) ступенек. Из формулы для \(n_1\): \[n = \frac{l}{\Delta l} = n_1(1 + x) = \frac{n_1 n_2}{2n_1 - n_2} = 104.\]