Сто тел на верёвках

Тела не утонут, если их общая средняя плотность не больше плотности воды. Найдите среднюю плотность системы, учитывая, что сумму \(1+2+\dots+100\) можно сгруппировать в пары.

Тела не утонут в воде, если средняя плотность ста шаров меньше плотности воды. По определению \[\rho_{\text{ср}} = \frac{m_1 + m_2 + \dots + m_{100}}{100V} = \frac{\rho\,(1 + 2 + \dots + 100)}{100}.\] Сумму в скобках можно вычислить, складывая первое число с последним (\(1 + 100 = 101\)), второе с предпоследним (\(2 + 99 = 101\)) и т. д. Пар получается 50, поэтому \(1 + 2 + \dots + 100 = 50\cdot 101\). Тогда \[\rho_{\text{ср}} = \frac{101\,\rho}{2}.\] Тела не утонут, если \[\frac{101\,\rho}{2} \le \rho_0 \quad\Rightarrow\quad \rho \le \frac{2\rho_0}{101} = 19{,}8\text{ кг/м}^3.\]