Остывающая планета

Космонавты, высадившиеся на далёкой планете, в ходе исследований обнаружили, что:

— планета так далека от всех звёзд, что единственным источником энергии на ней являются протекающие в недрах планеты реакции радиоактивного распада;

— планета однородна, имеет форму шара, а радиоактивные элементы равномерно распределены по всему её объёму;

— период полураспада радиоактивных элементов равен 1 млн лет (ход этого процесса не зависит от температуры);

— температура на поверхности планеты \(t_1 = 0\ {}^\circ\text{C}\), а в её центре \(t_2 = 100\ {}^\circ\text{C}\);

— атмосфера отсутствует и планета непрерывно теряет энергию из-за теплового излучения.

Считая, что энергия, излучаемая в единицу времени с единицы площади поверхности планеты, пропорциональна четвёртой степени абсолютной температуры поверхности, а тепловой поток внутри планеты пропорционален перепаду температур на единицу расстояния \(\Delta T/\Delta r\), определите:

1. температуру на расстоянии \(r = R/2\) от центра планеты в момент исследований;

2. температуру на поверхности планеты через 4 млн лет;

3. температуру в центре планеты через 4 млн лет.