Четыре пластины и резистор

После установления равновесия разность потенциалов между крайними пластинками равна нулю. Выразите заряды крайних пластинок из этого условия.

Крайние пластинки после замыкания ключа приобретут заряды \(-Q\) и \(Q\) (см. рис.). Между средними пластинками поле \[E_1 = \frac{q - Q}{S\varepsilon_0},\] а между крайними и средними \(E_2 = \dfrac{Q}{S\varepsilon_0}\); векторы \(\vec E_1\) и \(\vec E_2\) направлены противоположно. Работа поля при переносе пробного заряда \(\delta q\) между крайними пластинками равна нулю (они соединены проводником): \[\delta q\,E_1\,\frac{d}{2} = \delta q\,E_2\cdot 2d \quad\Rightarrow\quad Q = \frac{q}{5}.\] Значит, по проводнику, соединяющему крайние пластинки, к верхней пластинке протечёт заряд \(-q/5\).

Чтобы найти количество теплоты, цепь после установления равновесия можно представить как три последовательно соединённых конденсатора с зарядами \(q/5\), \(4q/5\) и \(q/5\) (рис.), с ёмкостями \[C_в = \frac{S\varepsilon_0}{d}, \qquad C_{ср} = \frac{2S\varepsilon_0}{d}, \qquad C_н = \frac{S\varepsilon_0}{d}.\] Энергия цепи после установления равновесия \[W_к = \frac{(q/5)^2}{2C_в} + \frac{(4q/5)^2}{2C_{ср}} + \frac{(q/5)^2}{2C_н} = \frac{q^2 d}{5S\varepsilon_0}.\] Начальная энергия (до замыкания ключа) \[W_н = \frac{q^2}{2C_{ср}} = \frac{q^2 d}{4S\varepsilon_0}.\] Вся избыточная энергия выделится в тепло на резисторе, так как резистор — единственный элемент с сопротивлением: \[Q = W_н - W_к = \frac{q^2 d}{20\,S\varepsilon_0}.\]