Ускорение вершины квадрата

Представьте ускорение каждой вершины как сумму ускорения центра квадрата и ускорения вершины относительно центра. Какие направления имеют последние для соседних вершин?

Ускорение любой вершины в лабораторной системе есть сумма ускорения центра квадрата \(\vec a_c\) и ускорения этой вершины относительно центра \(\vec a_{vc}\). В системе центра вершины имеют нормальную и тангенциальную составляющие ускорения, одинаковые по величине для всех вершин и взаимно перпендикулярные. Поэтому относительные ускорения вершин A и C противоположны друг другу, и вектор \(\vec a_c\) перпендикулярен векторам \(\vec a_{Ac}\), \(\vec a_{Cc}\) (рис. 1). Относительное ускорение вершины B перпендикулярно \(\vec a_{Ac}\) и \(\vec a_{Cc}\), значит, оно параллельно (или антипараллельно) \(\vec a_c\); так как \(a_B > a_A, a_C\), векторы \(\vec a_c\) и \(\vec a_{Bc}\) параллельны (рис. 2).

Обозначим \(y = a_c\), \(x = a_{vc}\) (величина ускорения вершины относительно центра). Для вершин A и C \[a^2 = y^2 + x^2,\] а для вершины B \[\frac{5}{4}a = y + x.\] Исключая \(y\), получаем квадратное уравнение \[2x^2 - \frac{5}{2}ax + \frac{9}{16}a^2 = 0,\] корни которого \(x_{1,2} = \dfrac{(5 \pm \sqrt{7})a}{8}\), а соответствующие \(y = \dfrac{(5 \mp \sqrt{7})a}{8}\). Относительное ускорение вершины D противоположно относительному ускорению B, поэтому \[a_D = |y - x| = \frac{\sqrt{7}}{4}\,a\] для обоих наборов корней.