Двоичная система пружин

Жесткости параллельно соединенных пружин складываются, а для последовательно соединенных складываются обратные величины. Полезна сумма геометрической прогрессии.

Заметим, что система пружин состоит из семи уровней параллельно соединенных пружин. Пронумеруем уровни от 0 до 6, где меньший номер имеет уровень с одной пружиной. Тогда количество пружин на каждом из уровней равно \(2^n\), где \(n\) принимает значения от 0 до 6 в соответствии с номером уровня. Так как пружины одинаковые, пусть жесткость каждой из них равна \(k\). Тогда выразим жесткость \(k_n\) уровня с номером \(n\): \[k_n = 2^n k.\] Уровни между собой соединены последовательно, тогда жесткость \(K\) всей системы равна: \[\frac{1}{K} = \frac{1}{k_6} + \frac{1}{k_5} + \ldots + \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_0} = \frac{1}{k}\left(\frac{1}{2^6} + \frac{1}{2^5} + \ldots + \frac{1}{2} + 1\right) = \frac{1}{k}\cdot\frac{127}{64} \quad\Rightarrow\quad K = \frac{64}{127}\,k.\] Запишем условие равновесия, заменив общую систему пружин одной пружиной с жесткостью \(K\): \[K\,\Delta x = mg \quad\Rightarrow\quad \Delta x = \frac{mg}{K}.\] Откуда \[\Delta x = \frac{127}{64}\cdot\frac{m}{k}\cdot g = \frac{127}{64}\cdot\frac{32}{127}\cdot 10 = 5\text{ см}.\]