Упругая система

Сумма сил натяжения пружин всегда равна \(F\). Подумайте, какая из пружин недеформирована в момент, когда ускорение груза равно нулю.

Из условия следует, что сумма сил натяжения пружин всегда равна \(F\). Растяжения пружин в начальный момент одинаковы и равны \(x_0 = F/k\), где \(k = k_1 + k_2\); суммарная начальная энергия пружин \(E_0 = F^2/2k\).

1. В момент, когда скорость груза максимальна, его ускорение равно нулю. Значит, первая пружина недеформирована, а вторая растянута силой \(F\). Приравнивая работу силы \(F\) изменению энергии системы, получим \[F\left(\dfrac{F}{k_2} - \dfrac{F}{k}\right) = \dfrac{mv^2}{2} + \dfrac{F^2}{2k_2} - \dfrac{F^2}{2k},\] откуда максимальная скорость груза \[v = F\sqrt{\dfrac{k_1}{m\,k_2(k_1+k_2)}}.\]

2. Так как сумма сил натяжения пружин постоянна, минимальность одной из них означает максимальность другой. В момент минимального удлинения одной из пружин скорость изменения её длины равна нулю, а значит, равна нулю и скорость груза. Для растяжений пружин \(x_1\) и \(x_2\) в этот момент получаем систему \[\begin{cases} k_1x_1 + k_2x_2 = F, \\ F(x_2 - x_0) + \dfrac{kx_0^2}{2} = \dfrac{k_1x_1^2}{2} + \dfrac{k_2x_2^2}{2}. \end{cases}\] Начальные значения \(x_1 = x_2 = x_0\) удовлетворяют этой системе, так как скорость груза в начальный момент равна нулю. Второе решение: \(x_1 = -x_0\), \(x_2 = x_0\,\dfrac{2k_1+k_2}{k_2}\). Таким образом, удлинение первой пружины в момент, когда её длина минимальна, \[x_1 = -\dfrac{F}{k_1+k_2}.\] Отрицательный знак означает, что пружина в этот момент сжата.