Стенка с дыркой

В момент максимального растяжения скорость изменения длины резинки равна нулю. Для отсутствия внешних сил используйте сохранение импульса, для ненатянутой резинки — сохранение энергии.

При упругом ударе бруска 1 о стену изменяется направление его скорости при сохранении её величины. В этот момент скорости равны \(v_1 = -v\), \(v_2 = v_3 = v\) (рис. 17).

1. Резинка будет максимально растянутой, когда скорость увеличения её длины станет равна нулю. Эту скорость можно выразить через скорости брусков в момент максимального растяжения: \[v_\text{раст} = 2v_3 - v_2 - v_1 = 0.\] На систему не действуют внешние силы, поэтому из закона сохранения импульса \[v_3 + v_2 + v_1 = v.\] Второй закон Ньютона для первого и второго брусков даёт \(m\,\Delta v_2/\Delta t = T\) и \(m\,\Delta v_1/\Delta t = T\), поэтому \(\Delta v_1 = \Delta v_2\) и, значит, \[v_2 - v = v_1 - (-v).\] Из трёх уравнений получаем значения скоростей в момент максимального растяжения: \(v_1 = -\dfrac{2}{3}v\), \(v_2 = \dfrac{4}{3}v\), \(v_3 = \dfrac{1}{3}v\).

2. Пусть скорости брусков в момент, когда резинка снова не натянута, равны \(v_1\), \(v_2\), \(v_3\). Закон сохранения импульса и связь между скоростями \(v_1\) и \(v_2\) остаются прежними. Резинка не натянута, когда её потенциальная энергия равна нулю. Из закона сохранения энергии \[3v^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 .\] Два решения: первое, \(v_1 = -v\), \(v_2 = v\), \(v_3 = v\), соответствует начальной ситуации, которая больше не повторится. Второе решение \[v_1 = -\dfrac{1}{3}v, \qquad v_2 = \dfrac{5}{3}v, \qquad v_3 = -\dfrac{1}{3}v\] является ответом на второй вопрос задачи.