Задачи › Пружинный маятник, массивная пружина

Головокружительный аттракцион

  1. Головокружительный аттракцион

    ВсОШ 2008/09, 11 кл.
    5/10

    В головокружительном аттракционе человек массы \(m = 70\) кг прыгает с платформы вниз в озеро. К ногам человека привязан конец резинового жгута некоторой длины \(L\) и жёсткости \(k\). Другой конец жгута прикреплён к платформе. У поверхности воды, пролетев расстояние \(h = 90\) м, человек должен иметь нулевую скорость и ускорение \(a_0 = 2g\). Считайте, что \(g = 10\) м/с\(^2\), а жгут подчиняется закону Гука. Размерами человека, сопротивлением воздуха и другими потерями можно пренебречь. Определите:

    1. длину \(L\) нерастянутого жгута и его жёсткость \(k\);

    2. удлинение жгута в положении равновесия (после затухания колебаний);

    3. максимальную скорость \(v_{\max}\) падения человека;

    4. амплитуду \(A\) и частоту \(\omega\) гармонических колебаний человека на жгуте;

    5. время \(\tau\) падения человека до поверхности воды.

    Внимание! От точности ваших расчётов, возможно, будет зависеть жизнь человека!

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    В нижней точке запишите второй закон Ньютона (\(k(h-L) - mg = 2mg\)) и закон сохранения энергии (\(mgh = k(h-L)^2/2\)). После натяжения жгута движение — часть гармонического колебания около положения равновесия; время падения складывается из свободного падения на длину \(L\) и доли периода.

    Ответ

    1) \(L = \dfrac{h}{3} = 30\) м, \(k = \dfrac{9mg}{2h} = 35\) Н/м; 2) \(x_0 = \dfrac{2h}{9} = 20\) м; 3) \(v_{\max} = \dfrac{2}{3}\sqrt{2gh} = 28{,}3\) м/с; 4) \(A = \dfrac{4h}{9} = 40\) м, \(\omega = \sqrt{\dfrac{9g}{2h}} = 0{,}71\) с\(^{-1}\); 5) \(\tau = \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}} + \dfrac{2\pi}{9}\right)\sqrt{\dfrac{2h}{9}} = 5{,}41\) с.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх