Поворот скорости корабля

Перейдём в инерциальную систему отсчёта, движущуюся с постоянной скоростью \(\vec V\). Так как во всех инерциальных системах отсчёта при одинаковых начальных условиях все механические явления протекают одинаково (принцип относительности Галилея), то ограничение, наложенное в условии задачи на ускорение корабля, не изменится. В новой системе отсчёта начальная скорость космического корабля равна нулю, а конечная скорость по модулю равна \(V\sqrt2\) и направлена под углом \(135^\circ\) к первоначальному направлению движения.

Теперь ясно, что для совершения манёвра нужно включить двигатели так, чтобы при развороте корабля его ускорение было всё время направлено в сторону конечной скорости корабля, то есть под углом \(135^\circ\) к первоначальному направлению движения. Тогда минимальное время манёвра будет равно \(\tau = V\sqrt2/a\).

Выясним, по какой траектории будет двигаться корабль при манёвре. Для этого вернёмся в исходную систему отсчёта и направим координатную ось \(Y\) декартовой системы координат в направлении, обратном ускорению, а ось \(X\) — перпендикулярно к ней, так, как показано на рисунке 1.36. Тогда закон движения в проекциях на эти оси примет вид: \[x = \dfrac{V\sqrt2}{2}t,\quad y = \dfrac{V\sqrt2}{2}t - \dfrac{at^2}{2}.\] Выражая из первого уравнения время и подставляя его во второе, получим уравнение траектории корабля: \(y = x - \dfrac{ax^2}{V^2}\), то есть корабль будет двигаться по параболе, аналогично телу, брошенному под углом \(45^\circ\) к горизонту.

В заключение приведём примеры двух неправильных решений задачи, которые сразу приходят в голову.

1) Корабль осуществляет поворот, двигаясь по окружности радиусом \(R\) с постоянным центростремительным ускорением \(a = V^2/R\). Тогда время, которое он затратит на манёвр, равно \(\tau_1 = \dfrac{\pi R}{2V} = \dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{V}{a} > \tau\).

2) Корабль сначала полностью гасит начальную продольную скорость и только потом развивает необходимую поперечную скорость. В этом случае время манёвра равно \(\tau_2 = 2(V/a) > \tau\).