Вода в трубках разного сечения

Рассмотрим воду, расположенную между двумя сечениями труб, которые показаны на рисунке пунктирными линиями. Так как у воды не меняется плотность и не меняется объём выделенного участка воды, то масса воды, находящейся между выделенными сечениями, не меняется с течением времени, несмотря на то, что вода течёт. А это значит, что массы воды, втекающей в выделенный участок за некоторый интервал времени, и вытекающей из него за тот же интервал, одинаковы. Найдём эти массы и приравняем их друг другу.

Рассмотрим трубку, площадью сечения \(S\), по которой течёт жидкость со скоростью \(v\) (см. рисунок). Так как скорость всех элементов жидкости \(v\), за интервал времени \(\Delta t\) сечение трубы пересекут те элементы жидкости, которые находятся на расстоянии, меньшем чем \(v\,\Delta t\) (выделены более тёмным на рисунке). Их масса равна произведению плотности жидкости \(\rho\) на объём этих элементов жидкости \(Sv\,\Delta t\): \[m = \rho S v\,\Delta t.\]

Вернёмся теперь к задаче. Так как в участок воды, расположенный между двумя пунктирными прямыми на первом рисунке, втекает вода по двум трубкам площадью сечения \(S\) и \(3S\) со скоростями \(v\) и \(2v\) соответственно, в него за некоторый интервал времени \(\Delta t\) втекает масса воды \[m_{\text{втек}} = \rho S v\,\Delta t + \rho\, 3S\cdot 2v\,\Delta t = 7\rho S v\,\Delta t,\] а вытекает по одной трубке масса воды \[m_{\text{вытек}} = \rho S_1\cdot 4v\,\Delta t,\] где \(S_1\) — искомая площадь выходной трубки. Приравнивая эти массы, находим \[S_1 = \frac{7}{4}\,S.\]