Задачи › Кинематика твёрдого тела, мгновенный центр вращения

Треугольник скользит по опорам

  1. Треугольник скользит по опорам

    ИОШ 2025/26, 10 кл.
    6/10

    Вырезанный из листа фанеры равносторонний треугольник \(ABC\) движется в своей плоскости так, что его боковые стороны скользят по опорам \(M\) и \(N\) (см. рисунок). Угловая скорость треугольника постоянна и равна \(\omega\). Найти скорость и ускорение точки \(C\) в тот момент времени, когда сторона треугольника \(AB\) горизонтальна. В этот момент \(CM = CN\), \(MN = a\).

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Найдите мгновенный центр вращения треугольника: он лежит на перпендикулярах к сторонам, проведённых из точек опоры \(M\) и \(N\). Какая скорость у точки \(C\) относительно этого центра?

    Ответ

    \(v_C = \dfrac{2a\omega}{\sqrt3}\), скорость горизонтальна; \(a_C = \dfrac{2a\omega^2}{\sqrt3}\), ускорение направлено от \(C\) к центру вращения \(O\) (центростремительное).

    Решение

    Центр вращения треугольника — точка \(O\), лежащая на пересечении перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых в точках \(M\) и \(N\).

    Рисунок

    Поскольку \(\angle OCN = 30^\circ\), из треугольника \(OCN\) находим \[ON = \frac{a}{\sqrt3}, \qquad OC = \frac{2a}{\sqrt3}.\] Отсюда скорости точек \(M\), \(N\) и \(C\): \[v_{M,N} = \omega\cdot OM = \frac{a\omega}{\sqrt3}, \qquad v_C = \omega\cdot OC = \frac{2a\omega}{\sqrt3}.\] Проверка по «условию палочки»: скорость точки \(C\) направлена горизонтально, скорость точки \(M\) — вдоль стороны треугольника, и должно выполняться \(v_M = v_C\cos 60^\circ = \dfrac{v_C}{2}\). Это выполнено.

    Величина скорости точки \(C\) в рассматриваемый момент достигает экстремума, поэтому её производная по времени равна нулю: тангенциальное ускорение точки \(C\) равно нулю. Ускорение точки \(C\) в этот момент центростремительное: \[a_C = \omega^2\cdot OC = \frac{2a\omega^2}{\sqrt3}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх