Цикл с расширением по дуге окружности

Выразите температуру в точке дуги через угол её радиуса с горизонталью, а для теплоёмкости запишите \(\Delta Q = \frac{3}{2}\nu R\,\Delta T + p\,\Delta V\) и найдите, когда \(\Delta Q = 0\).

1) Пусть радиус, проведённый в произвольную точку процесса 1-2, составляет угол \(\alpha\) с горизонтальной осью. Найдём связь температуры в этой точке с углом \(\alpha\). Обозначим через \(r\) радиус дуги окружности. Тогда \(PV = \nu RT\), \(\dfrac{P}{P_0} = r\sin\alpha\), \(\dfrac{V}{V_0} = r\cos\alpha\). Отсюда \[T = \frac{P_0V_0r^2\sin2\alpha}{2\nu R}.\] У нас \(\alpha_1 = 60^\circ\), \(\alpha_2 = 15^\circ\): \(\dfrac{T_1}{T_2} = \dfrac{\sin2\alpha_1}{\sin2\alpha_2} = \sqrt{3}\).

2) Для элементарного процесса в процессе 1-2 \(\Delta Q = \nu\frac{3}{2}R\,\Delta T + P\,\Delta V\). Теплоёмкость равна нулю при \(\Delta Q = 0\). Имеем \(P\Delta V = P_0 r\sin\alpha\cdot\Delta V\), где \(\Delta V = -V_0r\sin\alpha\,\Delta\alpha\). Выразим \(\Delta\alpha\) через \(\Delta T\): так как \(T = \dfrac{P_0V_0r^2\sin2\alpha}{2\nu R}\), то \(\Delta T = \dfrac{P_0V_0r^2}{2\nu R}\cos2\alpha\cdot2\Delta\alpha\). Тогда \[P\Delta V = -\nu R\,\frac{\sin^2\alpha}{\cos2\alpha}\,\Delta T, \qquad \Delta Q = \nu R\,\frac{3\cos^2\alpha - 5\sin^2\alpha}{2(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)}\,\Delta T .\] \(\Delta Q = 0\) при \(3\cos^2\alpha - 5\sin^2\alpha = 0\). Отсюда \(\mathrm{tg}\,\alpha = \sqrt{\dfrac{3}{5}}\).

3) Работа в процессе расширения 1-2: \(A_{12} = \sum P\Delta V = P_0V_0S_{12}\), где \(S_{12}\) — «площадь» под дугой 1-2: \[S_{12} = \frac{1}{4}r^2\left[2(\alpha_1-\alpha_2) + \sin2\alpha_2 - \sin2\alpha_1\right], \qquad A_{12} = \frac{1}{8}P_0V_0r^2\left[\pi + 1 - \sqrt{3}\right].\] Изменение внутренней энергии \(U_2 - U_1 = \nu C_V(T_2 - T_1) = \frac{3}{8}P_0V_0r^2\left(1 - \sqrt{3}\right)\). Теплота подводится только на участке 1-2, поэтому \[\frac{A}{A_{12}} = \frac{Q_{12}}{A_{12}} = \frac{U_2 - U_1 + A_{12}}{A_{12}} = 1 + \frac{U_2 - U_1}{A_{12}} = \frac{4 - 4\sqrt{3} + \pi}{1 - \sqrt{3} + \pi} \approx 0{,}09 .\]