Задачи › Качение без проскальзывания

Три кольца с вращением

  1. Три кольца с вращением

    СПбГУ 2022/23, 10 кл.
    6/10

    Система из трёх колец закреплена так, как показано на рисунке. Внутреннее кольцо радиусом \(R_1\) вращается вокруг своей оси с частотой \(\omega_1\), внешнее кольцо радиусом \(R_2\) — с частотой \(\omega_2>\omega_1\) в том же направлении. Между кольцами \(R_1\) и \(R_2\) зажато малое кольцо радиусом \(r\) так, что при вращении колец оно движется без проскальзывания. Определите:

    1. время, за которое ось малого кольца совершит полный оборот вокруг оси колец \(R_1\) и \(R_2\);

    2. частоту обращения малого кольца вокруг своей оси в системе отсчёта, в которой внутреннее кольцо неподвижно.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Перейдите в систему, где внутреннее кольцо неподвижно: центр малого кольца движется со скоростью, равной полусумме скоростей его точек касания.

    Ответ

    1) \(t_1=\dfrac{2\pi(R_1+R_2)}{\omega_2R_2+\omega_1R_1}\);  2) \(\omega=\dfrac{(\omega_2-\omega_1)R_2}{2(R_2-R_1)}\).

    Решение

    Радиус малого кольца \(r=\dfrac{R_2-R_1}{2}\), его центр расположен на расстоянии \(R_x=\dfrac{R_2+R_1}{2}\) от оси колец.

    Перейдём в систему отсчёта, в которой внутреннее кольцо \(R_1\) покоится. Внешнее кольцо \(R_2\) в этой системе вращается вокруг внутреннего с частотой \(\omega'=\omega_2-\omega_1\). Точка малого кольца, касающаяся кольца \(R_2\), движется со скоростью \((\omega_2-\omega_1)R_2\), поэтому центр малого кольца движется со скоростью, в два раза меньшей: \[v_0'=\frac{(\omega_2-\omega_1)R_2}{2}.\] Частота обращения малого кольца вокруг своей оси в этой системе отсчёта: \[\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi r}\,v_0'=\frac{(\omega_2-\omega_1)R_2}{2(R_2-R_1)}.\]

    Возвращаясь в исходную систему отсчёта, находим линейную скорость центра малого кольца: \[v_0=\frac{(\omega_2-\omega_1)R_2}{2}+\frac{\omega_1(R_2+R_1)}{2} =\frac{\omega_2R_2+\omega_1R_1}{2}.\] Время одного оборота малого кольца вокруг внутреннего кольца: \[t_1=\frac{2\pi R_x}{v_0}=\frac{2\pi(R_1+R_2)}{\omega_2R_2+\omega_1R_1}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх