Шайба на штанге с пружиной и жгутом
6/10На рисунке изображена конструкция, состоящая из жёсткой штанги, на которую насажены цилиндрическая массивная шайба и невесомая пружина жёсткостью \(k_1\). Шайба способна двигаться по штанге без трения. Пружина одним концом присоединена к шайбе, другим — к полу. Шайба соединена с полом ещё и эластичным невесомым жгутом жёсткостью \(k_2\). Жгут изначально не растянут. Расстояние от пола до шайбы \(H_0\). Жгут оттягивают за середину в горизонтальном направлении с некоторой силой \(F\) так, как показано на рисунке, в результате чего шайба опустилась. Определите величину этой силы, если известно, что длина жгута в результате натяжения увеличилась в \(\beta\) раз.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаНатяжение жгута одинаково по всей его длине; его вертикальная составляющая уравновешивается дополнительным сжатием пружины.
Ответ\(F=2k_2H_0\left(1-\dfrac{1}{\beta}\right)\sqrt{\beta^2-\left(1+\dfrac{k_2}{k_1} \left(1-\dfrac{1}{\beta}\right)\right)^{-2}}\).
РешениеУдлинение жгута \(\Delta l=H_0(\beta-1)\), сила натяжения жгута \[T=k_2\Delta l=k_2H_0(\beta-1).\] Вертикальная проекция натяжения уравновешена дополнительным сжатием пружины: \[k_1\Delta H=T\sin\alpha=k_2H_0(\beta-1)\sin\alpha,\] где \(\Delta H\) — изменение высоты шайбы, \(\alpha\) — угол жгута с горизонталью. Из прямоугольного треугольника \[\sin\alpha=\frac{H_0-\Delta H}{\beta H_0}.\] Отсюда \[\Delta H=\frac{H_0k_2(\beta-1)}{\beta k_1+k_2(\beta-1)}, \qquad \cos\alpha=\sqrt{1-\frac{1}{\beta^2}\left(1+\frac{k_2}{k_1}\left(1-\frac{1}{\beta}\right)\right)^{-2}}.\] Сила \(F=2T\cos\alpha\), после подстановки получаем ответ, приведённый выше.
Похожие задачи
- Резиновый трос и груз СПбГУ 2010/11, 10 кл.
- Диск на пружинках МОШ 2013/14, 8 кл.
- Балка на блоках с пружиной Санкт-Петербургская 2013/14, 8 кл.
- Телескопический амортизатор с рамками Санкт-Петербургская 2013/14, 8 кл.
- Колонны Исаакиевского собора ИОШ 2014/15, 9-10 кл.
- Паутина с пауком Санкт-Петербургская 2014/15, 11 кл.