Обруч, стержень и груз на вертикальной направляющей

Для малых отклонений кинетическая энергия определяется вращением обруча, а скорость груза мала. Потенциальную энергию груза разложите по малому углу поворота обруча. Сравните полученную энергию с энергией груза на пружине.

Отклоним обруч на малый угол \(\varphi\) между радиусом \(OB\) и вертикалью. Угол \(OAB\) обозначим \(\alpha\). Из теоремы синусов для треугольника \(AOB\): \[\sin\alpha = \frac{R}{L}\sin\varphi \approx \frac{R}{L}\varphi,\] а из суммы углов треугольника \(AOB\) угол \(\beta\) между скоростью \(\vec V_1\) точки \(B\) и стержнем \(AB\) равен \(\beta = 90^\circ - \left(1+\dfrac{R}{L}\right)\varphi\).

Кинетическая энергия складывается из вращения обруча и движения груза. Проекции скоростей на направление стержня совпадают, поэтому скорость груза \(V_2 = V_1\dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}\), где \(V_1 = \omega R\). Для малых \(\varphi\) \(\cos\beta \approx \left(1+\dfrac{R}{L}\right)\varphi \ll 1\), \(\cos\alpha \approx 1\), так что вкладом груза в кинетическую энергию можно пренебречь: \[K = \frac{MR^2\omega^2}{2}.\] Потенциальная энергия груза относительно положения равновесия \[U = mg\left[R(1-\cos\varphi) + L(1-\cos\alpha)\right] \approx \frac{mgR\varphi^2}{2}\left(1+\frac{R}{L}\right).\] Полная энергия \[E = \frac{MR^2\omega^2}{2} + \frac{mgR\left(1+\frac{R}{L}\right)}{2}\varphi^2,\] что совпадает с энергией эквивалентного груза массой \(MR^2\) на пружине жёсткости \(k = mgR\left(1+\dfrac{R}{L}\right)\) (роль координаты играет \(\varphi\), скорости — \(\omega\)). Отсюда \[T = 2\pi\sqrt{\frac{MR^2}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{MRL}{mg(R+L)}} \approx 1{,}8\text{ с}.\]