Возбуждённое ядро и покоящееся ядро

Запишите законы сохранения энергии и импульса, затем рассмотрите квадратное уравнение относительно отношения модулей импульсов. Максимальный угол соответствует случаю, когда дискриминант этого уравнения равен нулю.

Пусть \(\vec p_0\) — начальный импульс ядра \(N_1^*\), \(\vec p_1\) и \(\vec p_2\) — конечные импульсы ядер, \(E_0\) — внутренняя энергия ядра \(N_1\) после столкновения. Закон сохранения энергии: \[\frac{p_0^2}{2m_1} + E_0 + \Delta E = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + E_0.\] Так как \(K_0 = p_0^2/2m_1\), \(x = \Delta E/K_0\) и \(n = m_1/m_2\), получаем \[1 + x = \left(\frac{p_1}{p_0}\right)^2 + n\left(\frac{p_2}{p_0}\right)^2.\] Закон сохранения импульса \(\vec p_0 = \vec p_1 + \vec p_2\) и теорема косинусов дают \[\left(\frac{p_2}{p_0}\right)^2 = 1 + \left(\frac{p_1}{p_0}\right)^2 - 2\,\frac{p_1}{p_0}\cos\vartheta.\] Обозначим \(y = p_1/p_0 > 0\). Тогда \[(n+1)y^2 - 2ny\cos\vartheta + (n-1-x) = 0.\] Действительные корни существуют при \(\sin^2\vartheta \le \dfrac{1+(n+1)x}{n^2}\). Максимальный угол \(\vartheta_m\) соответствует нулевому дискриминанту: \[\sin^2\vartheta_m = \frac{1+(n+1)x}{n^2} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{n^2\sin^2\vartheta_m - 1}{n+1} = \frac{1}{5}\left(16\cdot\frac{1}{2} - 1\right) = 1{,}4.\]