Четыре пластины с диэлектриком и две батареи

Выразите напряжённости поля между пластинами через поверхностные плотности зарядов, затем запишите напряжения между парами пластин, на которые подключены батареи.

Обозначим заряды пластин 1 и 2 через \(q_1\) и \(q_2\); тогда заряды пластин 3 и 4 равны \(-q_1\) и \(-q_2\). Поверхностные плотности \(\sigma_1 = q_1/S\), \(\sigma_2 = q_2/S\). Направим ось \(x\) от пластины 1 к пластине 4. Напряжённости между пластинами: \[E_{1x} = \frac{\sigma_1}{\varepsilon_0}, \qquad E_{2x} = \frac{\sigma_1+\sigma_2}{\varepsilon_0}, \qquad E_{3x} = \frac{\sigma_2}{\varepsilon_0\varepsilon}.\] Работа поля при переносе пробного заряда \(e\) с пластины 1 на пластину 3 и с пластины 2 на пластину 4 даёт \[V_1 = \frac{\sigma_1 d}{\varepsilon_0} + \frac{(\sigma_1+\sigma_2)d}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad 2\sigma_1+\sigma_2 = \frac{\varepsilon_0V_1}{d},\] \[V_2 = \frac{(\sigma_1+\sigma_2)d}{\varepsilon_0} + \frac{\sigma_2 d}{\varepsilon_0\varepsilon} \quad\Rightarrow\quad \varepsilon\sigma_1 + (\varepsilon+1)\sigma_2 = \frac{\varepsilon_0\varepsilon V_2}{d}.\] Отсюда \[\sigma_1 = \frac{\varepsilon_0[(\varepsilon+1)V_1-\varepsilon V_2]}{d(\varepsilon+2)}, \qquad \sigma_2 = \frac{\varepsilon_0\varepsilon(2V_2-V_1)}{d(\varepsilon+2)},\] и \[x = \frac{q_1}{q_2} = \frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{(\varepsilon+1)V_1-\varepsilon V_2}{\varepsilon(2V_2-V_1)} = -3{,}5.\] Заряд \(q_2\) оказывается отрицательным.