Задачи › Движение по реке, переправы, ветер

Лодка на реке

  1. Лодка на реке

    Курчатов 2024/25, 8 кл.
    3/10

    Лодка начала движение от одного берега реки к противоположному. Лодочник направил нос лодки перпендикулярно берегу и начал грести веслами, сообщая лодке скорость поперёк реки, но за счёт течения лодку относило и вдоль реки со скоростью \(u_1 = 10\) км/ч. Когда лодка достигла середины реки, начался сильный ветер, и её стало сносить вдоль реки уже со скоростью \(u_2 = 15\) км/ч. Испугавшись, лодочник начал грести сильнее и в итоге всё же причалил к противоположному берегу. Оказалось, что средняя скорость движения лодки вдоль реки равна \(\langle u \rangle = 12\) км/ч. Во сколько раз быстрее стал грести лодочник?

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Средняя скорость сноса равна полному сносу, делённому на полное время переправы. Выразите снос через времена на каждой половине пути.

    Ответ

    в \(1{,}5\) раза.

    Решение

    Пусть ширина реки равна \(2D\): \(D\) — поперёк до середины и \(D\) — от середины до другого берега. Пусть \(v_1\) и \(v_2\) — скорости лодки поперёк реки на первой и второй половинах пути. Тогда \(T_1 = D/v_1\), \(T_2 = D/v_2\), полный снос \(S = u_1 T_1 + u_2 T_2\), полное время \(T = T_1 + T_2\). По условию \[\frac{S}{T} = \frac{10\,T_1 + 15\,T_2}{T_1 + T_2} = 12 .\] Отсюда \(-2T_1 + 3T_2 = 0\), то есть \(T_2 = \dfrac{2}{3}T_1\). Поскольку \(T_1 = D/v_1\) и \(T_2 = D/v_2\), получаем \(v_2 = \dfrac{3}{2}v_1\): во вторую половину пути лодочник греб в полтора раза быстрее.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх