Планка на блоках

Рассмотрите планку вместе с грузом \(M\) и запишите равновесие сил и моментов относительно опорной точки доски. Затем используйте, что сила реакции доски неотрицательна.

Обозначим массу груза, подвешенного к крайнему блоку, как \(m\), силу натяжения нити, прикреплённой к левому подвижному блоку, как \(T\), силу реакции доски как \(N\), длину одной части планки как \(L\).

Рассмотрим систему «планка и груз \(M\)». Равенство сил в проекции на вертикальную ось: \[\frac{3T}{2} + N + mg = Mg + \frac{mg}{2} .\] Равенство моментов относительно оси, проходящей через опорную точку доски: \[\frac{3LT}{2} + 6Lmg = 3LMg + \frac{7Lmg}{2} .\] Решая систему, получаем \[T = 2Mg - \frac{5mg}{3}, \qquad N = 2mg - 2Mg .\] Силы \(N\) и \(T\) направлены вверх, поэтому должны быть положительными. Кроме того, сила \(T/2\) не должна превышать \(Mg\), иначе груз на планке начнёт подниматься и равновесие нарушится. Из \(N \ge 0\) и \(0 \le T \le 2Mg\) получаем двойное неравенство \[M \le m \le \frac{6M}{5} .\] Подставляя \(M = 35\) кг, находим \(35~\text{кг} \le m \le 42~\text{кг}\).

Для второго вопроса рассмотрим предельный случай \(N = 0\), откуда \(m = M = 35\) кг.