Камень из рогатки

Проверьте, успевает ли камень долететь до наивысшей точки за \(4\) с. Если нет, камень успевает остановиться и упасть за это время, а путь складывается из двух участков.

Рассмотрим первый набор данных. Перемещение камня, стартовавшего вверх по вертикали, за время от \(t = 0\) до \(t = T = 4\) с равно \(H = 50\) м: \(H = \tilde v_0T - \dfrac{gT^2}{2}\), отсюда \(\tilde v_0 = \dfrac{H}{T} + \dfrac{gT}{2} = 32{,}5\) \(\text{м/с}\). При такой начальной скорости максимальная высота полёта \(H_{MAX} = \dfrac{\tilde v_0^2}{2g} \approx 52{,}8\) м \(> S = 50\) м. Значит, через некоторое время \(\tau\) после старта камень остановится. Тогда путь, пройденный камнем за время от \(0\) до \(T\), равен \[S = \frac{g\tau^2}{2} + \frac{g(T - \tau)^2}{2}.\] Отсюда \(\tau_{1,2} = \dfrac{T}{2}\left(1 \pm \sqrt{\dfrac{4S}{gT^2} - 1}\right)\), а затем модули начальных скоростей в первом и втором опытах \(v_{0,1,2} = g\tau_{1,2}\), и \[\frac{v_{0,1}}{v_{0,2}} = \frac{1 + \sqrt{\dfrac{4S}{gT^2} - 1}}{1 - \sqrt{\dfrac{4S}{gT^2} - 1}}.\] В рассматриваемом примере \(v_{0,1} = 30\) \(\text{м/с}\), \(v_{0,2} = 10\) \(\text{м/с}\), отношение \(\dfrac{v_{0,1}}{v_{0,2}} = 3\).