Цепь с двумя способами подключения

Упростите цепь для каждого подключения: найдите эквивалентное сопротивление между выбранными узлами. Одинаковая мощность означает одинаковое сопротивление цепи между подключёнными узлами.

Сопротивление \(R_{AC}\) найдём из соотношения \[\frac{1}{R_{AC}} = \frac{1}{2r} + \frac{1}{R} + \frac{1}{2r} = \frac{1}{r} + \frac{1}{R}.\] Для нахождения сопротивления \(R_{AB}\) предварительно найдём сопротивление участка цепи, лежащего между узлами \(A\) и \(C\) и содержащего резистор \(R\) и два последовательно соединённых резистора \(r\): \(\dfrac{1}{\tilde R_{AC}} = \dfrac{1}{2r} + \dfrac{1}{R} = \dfrac{R + 2r}{2Rr}\). Тогда \[\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{\tilde R_{AC} + r} = \frac{1}{r} + \frac{R + 2r}{2Rr + r(R + 2r)}.\] По условию мощности одинаковы: \(\dfrac{U^2}{R_{AB}} = \dfrac{U^2}{R_{AC}}\), отсюда \[\frac{1}{R} = \frac{R + 2r}{2Rr + r(R + 2r)}.\] Это равенство приводит к квадратному уравнению \(r^2 + 0{,}5rR - 0{,}5R^2 = 0\), решение которого \(r = 0{,}5R\). Далее \(\dfrac{1}{R_{AC}} = \dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{R} = \dfrac{3}{R}\). Искомая мощность \[P = \frac{U^2}{R_{AC}} = \frac{3U^2}{R}.\] При \(U = 200\) В, \(R = 500\) Ом: \(P = 240\) Вт.