Деформация кручения

IEPhO 2013/14, 10 кл.

6/10

В данной работе не требуется оценка погрешностей измерений.

Ускорение свободного падения \(\mathrm g = 9.8~ {м}/{с^2}\) . Толщина линейки \(d = 2.5 ~ мм\).

Соберите установку как показано на рисунке:

При такой деформации угол поворота линейки \(\alpha\) зависит от момента \(M\) приложенной силы по закону:

\[\alpha = \frac{6}{d} \,G^k a^m L^n M^p\]Здесь \(d\) – толщина линейки, \(a\) – её ширина, \(L\) – длина части линейки, участвующей в кручении, \(G\) – модуль сдвига (характеристика материала, измеряется в Паскалях), \(k, m, n, p\) – некоторые целые числа, которые Вам предстоит определить.

A1. Снимите зависимость угла поворота линейки \(\alpha\) от момента сил, приложенных для её кручения. Постройте график полученной зависимости. Определите показатель степени \(p\).

A2. Снимите зависимость угла поворота линейки \(\alpha\) от длины \(L\) части линейки, участвующей в кручении. Используя эти данные, определите показатель степени \(n\). Приведите соответствующий график.

A3. Зная коэффициенты \(n\) и \(p\), найдите коэффициенты \(k\) и \(m\).

A4. Вычислите величину модуля сдвига \(G\).

Оборудование

Две деревянных линейки по \(50~ см\)
Одна линейка \(20~ см\)
Зажим
Канцелярский зажим \(51~ мм\)
Груз массой \(50~ г\)
Нить

▶Показать разборСкрыть разбор

Ответ

A1: \[p=1\]; A2: \[n=1\]; A3: \(k =-1\), \(m =-3\)

Решение

A1. Для того, чтобы найти угол поворота исследуемой линейки измерим координату \(h\) конца линейки, к которой подвешиваются грузы. Тогда можно рассчитать:\[\sin\alpha = \frac{h}{y},\qquad \alpha = \arcsin\left(\frac{h}{y}\right),\]где \(y = 25.5 ~см\) – длина половины линейки, к которой прикрепляются грузы.

Измерим зависимость \(p(x)\), из которой рассчитаем зависимость \(\alpha (M)\).

Ответ:

\(x, ~см\)	0.0	5.0	7.5	10.0	12.5	15.0	17.5	20.0	22.5	25.0
\(h, ~см\)	0.0	1.2	1.9	2.5	3.1	3.8	4.5	5.1	5.6	6.4
\(\alpha,~ рад\)	0.000	0.047	0.075	0.098	0.122	0.150	0.177	0.201	0.221	0.254
\(M,~ Н\cdot см\)	0.00	2.45	3.66	4.88	6.08	7.27	8.44	9.60	10.76	11.86

Построим график зависимости \(\alpha (M)\).

Ответ:

Как видно из графика, зависимость хорошо описывается линейной функцией. Значит, коэффициент

Ответ:

\[p=1\]

A2. В предыдущем пункте было получено, что угол \(\alpha\) пропорционален моменту приложенной силы. Обозначим коэффициент пропорциональности \(\gamma\):

\[\alpha = \gamma M\]Для нахождения коэффициента \(n\) снимем зависимость. Измерения проводились при \(x = 20.0 ~см\).

Ответ:

\(L, ~см\)	44.0	43.0	42.0	41.0	40.0	39.0	38.0	37.0	36.0	35.0
\(h, ~см\)	6.9	6.9	6.7	6.5	6.4	6.2	6.1	5.9	5.7	5.7
\(M, ~Н \cdot см\)	9.43	9.43	9.46	9.48	9.49	9.51	9.52	9.53	9.55	9.55
\(\gamma, ~{рад}/{(Н \cdot см)}\)	0.0290	0.0290	0.0281	0.0272	0.0267	0.0258	0.0254	0.0245	0.0236	0.0236

\(L, ~см\)	34.0	33.0	32.0	31.0	30.0	29.0	28.0	27.0	26.0	25.0
\(h, ~см\)	5.6	5.3	5.2	5.1	5.0	4.9	4.8	4.6	4.5	4.2
\(M, ~Н \cdot см\)	9.56	9.59	9.59	9.60	9.61	9.62	9.62	9.64	9.65	9.67
\(\gamma, ~{рад}/{(Н \cdot см)}\)	0.0232	0.0218	0.0214	0.0210	0.0205	0.0201	0.0197	0.0188	0.0184	0.0171

\(L, ~см\)	24.0	23.0	22.0	21.0	20.0	19.0	18.0	17.0	16.0	15.0
\(h, ~см\)	3.9	3.8	3.7	3.6	3.5	3.4	3.2	3.1	2.9	2.5
\(M, ~Н \cdot см\)	9.68	9.69	9.70	9.70	9.71	9.71	9.72	9.73	9.74	9.75
\(\gamma, ~{рад}/{(Н \cdot см)}\)	0.0159	0.0154	0.0150	0.0146	0.0142	0.0138	0.0129	0.0123	0.0117	0.0101

\(L, ~см\)	14.0	13.0	12.0	11.0	10.0	9.0	8.0	7.0	6.0	5.0
\(h, ~см\)	2.3	2.2	2.1	1.9	1.7	1.6	1.4	1.2	1.0	0.9
\(M, ~Н \cdot см\)	9.76	9.76	9.77	9.77	9.78	9.78	9.79	9.79	9.79	9.79
\(\gamma, ~{рад}/{(Н \cdot см)}\)	0.0093	0.0088	0.0084	0.0076	0.0068	0.0064	0.0056	0.0048	0.0040	0.0036

Построим график полученной зависимости:

Ответ:

Как видно из графика, зависимость \(\gamma (L)\) линейна. Значит:

Ответ:

\[n=1\]

A3. Коэффициенты \(k\) и \(m\) найдём методом размерностей:

\[\begin{array}l[l] = М^{-1} \cdot Па^k\cdot М^m\cdot М\cdot (Н\cdot М )\\0=k+1\\0=-1-2k+m+1+1\end{array}\]Откуда:

Ответ:

\(k =-1\), \(m =-3\)

A4. Измерим ширину линейки: \[a = 3.0 ~см.\]Вычислим величину модуля сдвига \(G\), пользуясь значением углового коэффициента графика из пункта A3:

Ответ:

\[G={\frac{6}{A d a^{3}}}=1.4\cdot10^{7} ~Па\]

Источник: pho.rs/p/3906.

Вся олимпиада на сайте

в вариантСтраница задачиОшибка в задаче?

Деформация кручения

Деформация кручения

Похожие задачи