С отливом

Стакан работает как сифон: он периодически опоражнивается. Найдите период работы сифона и в каждом цикле запишите уравнение теплового баланса для бака.

1. Стакан с отводной трубкой работает по принципу сифона. Первый раз уровень воды в нём повышается в течение времени \(5\tau\). После заполнения горизонтальной части трубки вода быстро отводится из стакана, и её уровень опускается на \(4h\). Далее процесс повторяется с периодичностью \(4\tau\). Таким образом, за первые \(5\tau\) в бак поступает только холодная вода, и в первом теплообмене принимает участие \(4\tau\mu\) горячей воды и \(2\tau\cdot 2\mu\) холодной. Из уравнения теплового баланса \[4\tau\mu c(t_{x1} - t_1) + 4\tau\mu c(t_{x1} - t_2) = 0\] находим температуру в баке после первого теплообмена: \(t_{x1} = \dfrac{t_1 + t_2}{2} = 55\,^\circ\)C.

2. В течение следующего интервала времени \(4\tau\) в бак поступает только холодная вода, и температура содержимого бака понижается до \(t_{x2}\): \(4\tau\mu c(t_{x2} - t_1) + 12\tau\mu c(t_{x2} - t_2) = 0\), откуда \(t_{x2} = \dfrac{t_1 + 3t_2}{4} = 37{,}5\,^\circ\)C.

3. Очередная порция горячей воды массой \(4\tau\mu\) повышает температуру бака до \(t_{x3}\): \(8\tau\mu c(t_{x3} - t_1) + 12\tau\mu c(t_{x3} - t_2) = 0\), откуда \(t_{x3} = \dfrac{2t_1 + 3t_2}{5} = 48\,^\circ\)C.

4. К моменту времени \(10\tau\) в бак добавится ещё \(2\tau\mu\) холодной воды, и к этому моменту температура в баке станет \(t_{x4} = \dfrac{4t_1 + 7t_2}{11} = 45{,}5\,^\circ\)C.

5. За цикл \(4\tau\) в бак добавляется \(4\tau\mu\) горячей и \(8\tau\mu\) холодной воды. Эта смесь имеет среднюю температуру \(t_x\): \(4\tau\mu c(t_x - t_1) + 8\tau\mu c(t_x - t_2) = 0\), откуда \(t_x = \dfrac{t_1 + 2t_2}{3} = 43{,}3\,^\circ\)C. Поэтому через большое время температура в баке установится равной \(t_x = 43{,}3\,^\circ\)C.

4. График зависимости температуры воды в баке от времени: участки, соответствующие уменьшению температуры внутри периодов \(4\tau\), не линейные, а являются участками гипербол. Искомый график (до \(t = 5\tau\) — горизонтальная прямая при \(t = 20\,^\circ\)C, затем скачки до \(55\,^\circ\)C и \(48\,^\circ\)C с гиперболическим спадом):

Максимальная температура в баке достигает \(55\,^\circ\)C (первый скачок) и не превышает этого значения, поскольку последующие максимумы ниже: \(48\,^\circ\)C и далее.