WOT

Ускорение танка при движении по окружности с постоянной скоростью направлено к центру. Сила трения покоя должна обеспечить и это ускорение, и составляющую силы тяжести вдоль плоскости.

1. Ускорение танка, движущегося с постоянной скоростью \(v\) по окружности, равно \(a = \dfrac{v^2}{R}\) и в любой точке направлено вдоль наклонной плоскости к центру окружности. В плоскости движения на танк действуют сила трения покоя \(F_{тр}\) (гусеницы не проскальзывают), составляющая силы тяжести вдоль плоскости \(F = mg\sin\alpha\); в перпендикулярном направлении — сила нормальной реакции \(N = mg\cos\alpha\).

Сила трения покоя может принимать любое значение из интервала \(0 < F_{тр} < \mu mg\cos\alpha\). Из второго закона Ньютона \(\vec F_{тр} = m\vec a - \vec F\). Модуль разности векторов \(m\vec a\) и \(\vec F\) максимален, когда они направлены противоположно, т.е. в нижней точке траектории. Танк сможет пройти всю траекторию с постоянной скоростью \(v\), если выполнится условие \[m\frac{v^2}{R} \le \mu mg\cos\alpha - mg\sin\alpha,\] которое определяет максимальную скорость \(v_{max} = \sqrt{gR(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)}\) и минимальное время движения по окружности \(\tau_{min} = \dfrac{2\pi R}{v_{max}}\). Разумеется, это справедливо при \(\mu > \mathrm{tg}\,\alpha\); иначе танк без проскальзывания не смог бы даже стоять на месте.

2. Найдём максимальный угол между вектором силы трения и вектором ускорения. Так как вектор \(m\vec a\) имеет фиксированную величину, но разное направление в разных точках траектории, а вектор \(\vec F\) — фиксированные величину и направление, концы векторов сил трения лежат на окружности радиуса, равного модулю \(m\vec a\), а их начала находятся в точке, сдвинутой на величину \(\vec F\) относительно центра этой окружности.

Возможны два случая. 1) Если модуль \(\vec F\) больше модуля \(m\vec a\), т.е. \(\mu < 2\,\mathrm{tg}\,\alpha\) (малое трение), сдвиг окружности больше её радиуса, и угол \(\gamma\) между \(m\vec a\) и силой трения изменяется от \(0^\circ\) до \(180^\circ\); максимальное значение \(\gamma = 180^\circ\). 2) Если модуль \(\vec F\) меньше модуля \(m\vec a\), т.е. \(\mu > 2\,\mathrm{tg}\,\alpha\) (большое трение), существует максимальный угол между этими векторами. Для его нахождения применим теорему синусов к треугольнику сил: \[\frac{F}{\sin\gamma} = \frac{ma}{\sin\beta},\] где \(\beta\) — угол между вектором силы трения и вектором \(-\vec F\). Модули \(m\vec a\) и \(\vec F\) неизменны во всех точках траектории, поэтому \(\gamma\) максимален, когда максимален \(\sin\beta\), т.е. \(\beta = 90^\circ\). Тогда \[\sin\gamma = \frac{\sin\alpha}{\mu\cos\alpha - \sin\alpha} = \frac{\mathrm{tg}\,\alpha}{\mu - \mathrm{tg}\,\alpha}.\]