Охлаждение гелия с линейной теплоёмкостью

Площадь под графиком зависимости теплоёмкости от температуры равна полученной газом теплоте. Работа газа находится как разность теплоты и изменения внутренней энергии.

Площадь под графиком зависимости теплоёмкости от температуры есть теплота, полученная газом. Зависимость линейная. При изменении температуры от \(T_0\) до \(T\) теплота \[Q = \nu\cdot\frac{1}{2}\bigl(C(T) + C(T_0)\bigr)(T - T_0).\]

1) \(-Q_1 = \nu\cdot\dfrac{1}{2}\left(C\left(\dfrac{5}{6}T_0\right) + C(T_0)\right)\left(\dfrac{5}{6}T_0 - T_0\right) = -\dfrac{11}{36}\nu RT_0\). Отсюда \(Q_1 = \dfrac{11}{36}\nu RT_0\).

2) \(Q(T) = \nu\cdot\dfrac{1}{2}\bigl(C(T) + C(T_0)\bigr)(T - T_0) = \nu R\left(1 + \dfrac{T}{T_0}\right)(T - T_0)\). Изменение внутренней энергии \(\Delta U = \dfrac{3}{2}\nu R(T - T_0)\), работа газа \(A = Q - \Delta U\). Отсюда \[A = \frac{\nu R}{2T_0}(T - T_0)(2T - T_0).\] Имеем параболическую зависимость. Минимальная работа \(A_M\) при \[T_M = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}T_0 + T_0\right) = \frac{3}{4}T_0.\]

3) \(A_M = A(T_M) = -\dfrac{1}{16}\nu RT_0 < 0\).