Клин с блоком и шар на нити, привязанной к стене

Ускорение шара — сумма ускорения клина и ускорения шара относительно клина. Запишите второй закон Ньютона для шара в проекции на ось, перпендикулярную нити.

Пусть \(M\) — масса шара, \(m\) — масса клина, \(a\) — ускорение клина, \(T\) — сила натяжения нити.

1) Ускорение шара относительно клина тоже \(a\). Ускорение шара \(a_{ш}\) равно сумме переносного и относительного ускорений (см. рис.). \(\beta = 90^\circ - \alpha/2\), \(\sin\beta = \cos\dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}} = \dfrac{2\sqrt5}{5}\) (\(\cos\beta = \dfrac{\sqrt5}{5}\), \(\mathrm{tg}\,\beta = 2\)).

2) Уравнение движения для шара в проекциях на ось, перпендикулярную нити, \(Ma\sin\alpha = Mg\cos\alpha\). Отсюда \[a = \frac{g}{\mathrm{tg}\,\alpha} = \frac{g\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{3}{4}g.\]

3) Уравнения движения в проекциях на горизонтальную ось для шара и клина \(M(a - a\cos\alpha) = T\cos\alpha\), \(ma = T - T\cos\alpha\). Отсюда \[\frac{M}{m} = \frac{\cos\alpha}{(1 - \cos\alpha)^2} = \frac{15}{4}.\]

4) Относительно стола \(H = \dfrac{1}{2}(a\sin\alpha)t^2\). Так как \(a = \dfrac{g}{\mathrm{tg}\,\alpha}\), то \[t = \sqrt{\frac{2H}{g\cos\alpha}} = \sqrt{\frac{10H}{3g}}.\]

Замечание. Время можно найти, рассмотрев движение шара относительно клина.