Школьник соорудил на столе конструкцию (см. рисунок) из 6 одинаковых пружин, каждая из которых имеет жёсткость \(k\) и собственную длину \(L\), а также двух тонких жёстких стержней с массами \(M\) (снизу) и \(2M\) (сверху). Какие массы \(m\) имеют два одинаковых груза, прикреплённых к свободным концам крайних пружин, если в равновесии эти грузы находятся на очень малом расстоянии от поверхности стола? Собственной высотой грузов и стержней, а также массой пружин пренебречь. Пружины подчиняются закону Гука, а смещения тел возможны только в вертикальной плоскости.

\(m=\dfrac{kL}{3g}-\dfrac{5M}{6}\), то есть \(6mg=2kL-5Mg\).

Конструкция из шести пружин — Всесибирская 2023/24, отборочный этап, 8 кл., задача 4

Конструкция из шести пружин
Всесибирская 2023/24, отборочный этап, 8 кл. · №25377
6/10PDF: условие с решением
Школьник соорудил на столе конструкцию (см. рисунок) из 6 одинаковых пружин, каждая из которых имеет жёсткость \(k\) и собственную длину \(L\), а также двух тонких жёстких стержней с массами \(M\) (снизу) и \(2M\) (сверху). Какие массы \(m\) имеют два одинаковых груза, прикреплённых к свободным концам крайних пружин, если в равновесии эти грузы находятся на очень малом расстоянии от поверхности стола? Собственной высотой грузов и стержней, а также массой пружин пренебречь. Пружины подчиняются закону Гука, а смещения тел возможны только в вертикальной плоскости.

▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
Подсказка
Пружины, стержни и грузы расположены симметрично, поэтому стержни остаются горизонтальными, а пружины каждого типа растянуты одинаково. Условие «груз почти на столе» даёт связь между тремя деформациями. Запишите равновесие каждой группы тел отдельно.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ
\(m=\dfrac{kL}{3g}-\dfrac{5M}{6}\), то есть \(6mg=2kL-5Mg\).
▶РешениеСкрыть: решение
Решение
Пусть деформации пружин трёх типов равны \(L_1\), \(L_2\), \(L_3\) (для правой группы пружин, по симметрии левая такая же). Так как грузы почти касаются стола, полная длина столбика пружин равна \[L=L_1+L_2+L_3.\] Пружины первого типа (две штуки) удерживают два стержня общей массой \(3M\) и два груза массой \(2m\): \[2kL_1=3Mg+2mg.\] Пружины второго типа (две штуки) удерживают верхний стержень и два груза: \[2kL_2=2Mg+2mg.\] Каждая пружина третьего типа растянута силой \(mg\) неподвижного груза: \[kL_3=mg.\] Умножим первое уравнение и сложим все три, учитывая \(L=L_1+L_2+L_3\) и \(2kL\) в левой части: \[2kL=5Mg+6mg,\] откуда \[m=\dfrac{2kL-5Mg}{6g}=\dfrac{kL}{3g}-\dfrac{5M}{6}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Нашли ошибку?

Конструкция из шести пружин

Конструкция из шести пружин

Похожие задачи