Модель автомобиля внутри проволочной сферы

В горизонтальной плоскости сила трения уравновешивает вес, а нормальная реакция сферы сообщает центростремительное ускорение. Для второго пункта рассмотрите верхнюю точку окружности, где скорость минимальна, и предельное трение.

1) В горизонтальной плоскости \(F_{тр}=mg\), \(m\dfrac{V_0^2}{R}=N\); сила, действующая на сферу, \(\vec P=-(\vec N+\vec F_{тр})\), поэтому \[P=m\sqrt{\left(\frac{V_0^2}{R}\right)^2+g^2}=0{,}4\sqrt{\left(\frac{3{,}7^2}{1{,}2}\right)^2+10^2}\approx 0{,}4\sqrt{230}\approx 6{,}1\ \text{Н}.\]

2) По второму закону Ньютона \(m\vec a=m\vec g+\vec N+\vec F_{тр}\). В высшей точке траектории \(mg\cos\alpha=F_{тр}\le\mu N\), следовательно, \(N\ge\dfrac{1}{\mu}mg\cos\alpha\). Проекция на нормальное направление: \(m\dfrac{V_{MIN}^2}{R}=mg\sin\alpha+N=mg\sin\alpha+\dfrac{1}{\mu}mg\cos\alpha\). Отсюда \[V_{MIN}=\sqrt{gR\left(\sin\alpha+\frac{1}{\mu}\cos\alpha\right)}=\sqrt{10\cdot 1{,}2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{0{,}9\cdot 2}\right)}=\sqrt{6+\frac{20}{\sqrt3}}\approx 4{,}2\ \text{м/с}.\]