Нагреватель и охлаждение воды

Запишите уравнение теплового баланса за малое время для скорости роста температуры и для установившейся температуры, когда мощность нагревателя равна мощности теплопотерь.

Пусть комнатная температура равна \(t_0\). Тогда для мощности \(w\) теплопотерь воды с температурой \(t_1\) имеем из закона Ньютона-Рихмана \[w = k\,(t_1 - t_0),\] где \(k\) — неизвестный коэффициент пропорциональности. Поэтому уравнение теплового баланса за малое время \(\Delta t\) при включении нагревателя даёт \[P\,\Delta t = cm\,\Delta T + w\,\Delta t,\] где \(P\) — мощность нагревателя, \(c\) — удельная теплоёмкость воды, \(m\) — её масса, \(\Delta T\) — изменение температуры. Отсюда находим для скорости роста температуры \[v = \frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{P - w}{cm} = \frac{P}{cm} - \frac{k(t_1 - t_0)}{cm},\] где \(k\) — коэффициент пропорциональности в законе Ньютона-Рихмана. С другой стороны, при максимальной температуре \(t_2\), до которой может нагреться вода, мощность теплопотерь равна мощности нагревателя: \[P = k\,(t_2 - t_0).\] А если нагреватель выключить, она определяет скорость остывания воды: \[1{,}6\,v = \frac{w}{cm} = \frac{k\,(t_2 - t_0)}{cm}.\] Деля формулу для \(v\) на формулу для скорости остывания, получим \[\frac{5}{8} = 1 - \frac{t_1 - t_0}{t_2 - t_0}.\] Отсюда \[t_0 = \frac{1}{5}\,(8t_1 - 3t_2) = 11^\circ\text{С}.\] Чтобы воду в сосуде можно было довести до кипения, мощность нагревателя нужно увеличить до такого значения, что \[P_1 = k\,(t_{\text{кип}} - t_0),\] где \(t_{\text{кип}} = 100^\circ\) С — температура кипения воды. Деля эту формулу на \(P = k\,(t_2 - t_0)\), получим \[\frac{P_1}{P} = \frac{t_{\text{кип}} - t_0}{t_2 - t_0} = \frac{5t_{\text{кип}} - 8t_1 + 3t_2}{8t_2 - 8t_1} = 1{,}4.\] Т.е. мощность нагревателя нужно увеличить в \(1{,}4\) раза.