Малые колебания обруча с грузом
6/10На горизонтальном столе стоит тонкий обруч массой \(M = 50\) г и радиусом \(R = 0{,}1\) м. Масса обруча равномерно распределена по его длине. К внутренней стороне обруча прикреплён точечный груз массой \(m = 4\) г. В положении равновесия груз находится в самой нижней точке обруча. Найдите период \(T\) малых колебаний обруча около этого положения. Считайте, что обруч катается по столу без проскальзывания. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаКинетическая энергия катящегося обруча равна \(MV^2\), где \(V\) — скорость центра. Выразите связь между смещением центра и углом поворота из условия отсутствия проскальзывания.
Ответ\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{2MR}{mg}} = 3{,}14\) с.
РешениеКинетическая энергия катящегося без проскальзывания обруча: \(K = MV^2\) (скорость каждого элемента относительно центра равна по модулю \(V\), а сумма импульсов относительно центра равна нулю). Здесь \(V\) — скорость центра обруча.
При малом отклонении \(\alpha\) потенциальная энергия груза \(mgR(1 - \cos\alpha)\approx \dfrac{mgR\alpha^2}{2}\), а полная энергия \[E = MV^2 + \frac{mgR\alpha^2}{2} .\] Из условия отсутствия проскальзывания \(\Delta x = R\,\Delta\alpha\), поэтому \(x = R\alpha\) и \[E = MV^2 + \frac{mg\,x^2}{2R} .\] Это выражение подобно энергии груза массой \(m_0 = 2M\) на пружине жёсткости \(k = \dfrac{mg}{R}\), поэтому период \[T = 2\pi\sqrt{\frac{2MR}{mg}} = 3{,}14~\text{с} .\]
Похожие задачи
- Колебания груза на резиновом тросе СПбГУ 2010/11, 11 кл.
- Груз на стержне с пружиной Курчатов 2019/20, 11 кл.
- Бусинка между зарядами Ведомственная 2019/20, 11 кл.
- Крутильные колебания стержня на нитях Росатом 2020/21, 11 кл.
- Нелинейный шнур МОШ 2023/24, 11 кл.
- Колебания поршня над газом «Покори Воробьёвы горы!» 2024/25, 11 кл.