Газ, не отдающий тепло

Выразите \(Q\) как функцию безразмерного объёма \(x = (V - V_1)/V_1\) и найдите условие, при котором на всём отрезке \(0 \le x \le 1\) теплота неотрицательна.

Пусть \(\alpha = P_2/P_1\). На отрезке \(1\)–\(2\) давление линейно по объёму, и \[P = P_1\,[1 - (1 - \alpha)x], \qquad x = \frac{V - V_1}{V_1} \in [0, 1] .\] Приращение внутренней энергии \(\Delta U = \dfrac{3}{2}(PV - P_1V_1) = \dfrac{3}{2}P_1V_1\,x[\alpha - (1 - \alpha)x]\), работа (площадь трапеции) \(A = \dfrac{1}{2}P_1V_1\,x[2 - (1 - \alpha)x]\). По первому началу \[Q = \Delta U + A = \frac{1}{2}P_1V_1\left[(3\alpha + 2)x - 4(1 - \alpha)x^2\right] .\] График \(Q(x)\) — парабола с ветвями вниз (так как \(\alpha < 1\)). Вершина находится в \[x_B = \frac{3\alpha + 2}{8(1 - \alpha)} .\] Газ не отдаёт тепло, если весь отрезок \(x \in [0, 1]\) лежит на восходящей ветви параболы, то есть \(x_B \ge 1\): \[\frac{3\alpha + 2}{8(1 - \alpha)} \ge 1 \quad\Rightarrow\quad \alpha \ge \frac{6}{11} .\] Минимальное значение \(\alpha = \dfrac{6}{11}\) соответствует \(x_B = 1\).