Весомая пружина

Решение

A1. Для того, чтобы узнать массу одного витка пружинки необходимо разделить массу всей пружинки на количество витков в ней. Количество витков в пружинке составило \(45~шт\), а масса всей пружины составила: \(m_{пр} = 36.4\pm 0.1~г\).

Следовательно, масса одного витка составляет:

Ответ:

\(\gamma = (8.09\pm0.02)\cdot 10^{-4}~ кг\)

A2. Подвесим пружину вертикально. Величина силы, действующей на один виток, равняется силе тяжести действующей на витки, висящие ниже изучаемого витка.

Точность измерения длины одного витка мала, поэтому будем измерять длину десяти витков. Так как деформация десяти витков равна сумме деформаций каждого из 10 витков, а витки одинаковые, то коэффициент жесткости 10 витков в 10 раз меньше коэффициента жесткости одного витка. Для того чтобы измерить коэффициент жесткости 10 витков пружины (контрольных витков), снимем зависимость длины десяти витков пружины от количества витков пружины, висящих ниже контрольных витков (свободных витков) на установке, показанной на рис. 1.

Рис. 1. Установка для измерения коэффициента жесткости пружинки

Линейку прикрепим к столу с помощью канцелярского зажима. Важно контролировать то, что пружинка подвешена на координате в горизонтальной плоскости такой же, как координата окончания последнего витка пружинки. Погрешность измерения длины контрольных витков составляет \(\sim 1~мм\).

Построим график зависимости длины контрольных витков от количества свободных витков:

Рис. 2. График зависимости длины контрольных витков от количества свободных витков

Как видно получившийся график хорошо аппроксимируется линейной зависимостью, что говорит о выполнении закона Гука для исследуемой пружины. Угловой коэффициент этой зависимости составляет:

\[l = (1.05\pm0.01)~см\]Из величины \(l\) и массы одного витка легко установить коэффициент жесткости контрольных витков:

\[k_{10} = \frac{\gamma g}{l} = (0.76\pm 0.01)~{Н}/{м}\]Из последнего можно рассчитать коэффициент жесткости для одного витка:

Ответ:

\[k_1 = 10 k_{10} = (7.6\pm 0.1)~{Н}/{м}\]

A3. Исследуем зависимость периода колебаний пружинки от количества колеблющихся витков \(n\).

Масса колеблющихся витков пропорциональна их количеству, а коэффициент жесткости пружины обратно пропорционален количеству витков:

\[m_{пр} = \gamma n ,\qquad k=\frac{k_1}{n}\]Таким образом, теоретически зависимость периода колебаний от количества колеблющихся витков должна быть линейной:

\[T=2\pi \sqrt{\frac{\gamma}{k_1\beta}}n\]Коэффициент зависимости должен быть равен:

\[A=2\pi \sqrt{\frac{\gamma}{k_1\alpha}}\]Снимем зависимость периода колебаний пружинки от количества витков в ней. Погрешность оценим по разбросу измеряемых времен:

Рис. 3. График зависимости периода колебаний пружины от количества витков в ней

Как видно экспериментальные точки хорошо согласуются с предполагаемой линейной зависимостью. Коэффициент наклона зависимости, полученный из линейной аппроксимации, составляет:\[A = (3.82\pm0.09)\cdot10^{-2}~ с\]Из полученного углового коэффициента легко определить искомый коэффициент \(\beta\):

Ответ:

\[\beta = \frac{4\pi^2\gamma}{k^2\alpha} =2.87\pm0.18\]

Полученный коэффициент хорошо согласуется с теоретическим значением равным \(3\).

Источник: pho.rs/p/3911.