Буй на якоре

Сравните три возможности: разрыв цепи, отрыв якоря от дна и начало его скольжения. Какое из условий наступит раньше при таком отклонении буя?

Сила натяжения, при которой оборвётся цепь, \(20\) кН, а вес якоря \(mg = 3\) кН, и сила трения не превышает \(\mu mg < mg\). Поэтому цепь не оборвётся, а якорь сдвинется раньше: либо его оторвёт вверх, либо он начнёт скользить по дну.

На якорь действуют сила тяжести \(mg\), сила Архимеда \(F_А = \rho_в g\,\dfrac{m}{\rho_{ст}}\), натяжение цепи \(T\) под углом \(\alpha\) к вертикали, сила реакции опоры \(N\) и сила трения \(F_{тр}\). Проекции второго закона Ньютона при равновесии: \(N + F_А + T\cos\alpha - mg = 0\), \(T\sin\alpha = F_{тр}\).

Из геометрии \(\operatorname{tg}\alpha = 20/50 = 0{,}4\), поэтому \(T\cos\alpha = 2{,}5\,T\sin\alpha\). Отрыв вверх произойдёт при \(N = 0\), то есть при \(T\cos\alpha = mg - F_А\). Скольжение начнётся при \(T\sin\alpha = \mu N = \mu(mg - F_А - T\cos\alpha)\). Подставив \(T\cos\alpha = 2{,}5\,T\sin\alpha\), получим \(T\sin\alpha = \dfrac{\mu(mg - F_А)}{1 + 2{,}5\mu}\).

Сила Архимеда \(F_А = mg\,\dfrac{\rho_в}{\rho_{ст}}\), значит \(mg - F_А = 3000 \cdot \dfrac{6500}{7500} = 2600\) Н. Тогда \(T\sin\alpha = \dfrac{0{,}25 \cdot 2600}{1{,}625} = 400\) Н.

Проверка порядка событий: при этом \(T\cos\alpha = 2{,}5 \cdot 400 = 1000\) Н \(< 2600\) Н, значит, отрыв вверх не наступает раньше скольжения. Минимальная сила течения, сдвигающая буй, равна горизонтальной составляющей натяжения: \(F_{\text{теч}} = T\sin\alpha = 400\) Н.