Колонны Исаакиевского собора
5/10Колонны Исаакиевского собора в Санкт-Петербурге изготовлены из гранита и имеют высоту \(h = 30\) м. Оцените, на сколько сжаты колонны под действием собственной тяжести. Плотность гранита \(\rho = 2{,}7 \cdot 10^3\) кг/м\(^3\), модуль Юнга \(E = 5 \cdot 10^{10}\) Па.
Указание. Модуль Юнга \(E\) определяется как коэффициент пропорциональности между напряжением (\(F/S\)) и относительным удлинением образца (\(\Delta l/l\)): \(F/S = E\,\Delta l/l\), где \(F\) — сила, растягивающая или сжимающая образец, \(S\) — площадь поперечного сечения образца, \(\Delta l\) — его удлинение или укорочение, \(l\) — первоначальная длина.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаКак меняется сила сжатия по высоте колонны? Достаточно ли найти относительное сжатие в середине колонны?
Ответ\(\Delta h \approx 2{,}4 \cdot 10^{-4}\) м, то есть около \(0{,}24\) мм.
РешениеВ самом верху колонна не будет сжата, в середине — сжата половиной своего веса, внизу — всем своим весом. Поэтому оценим среднее относительное сжатие колонны как её относительное сжатие посередине. Малый поперечный элемент колонны толщиной \(l\) в её середине сжимается половиной её веса. Поэтому напряжение этого элемента \(\sigma\) равно \[\sigma = \frac{F}{S} = \frac{\rho g h}{2},\] где \(S\) — площадь сечения колонны. По закону Гука для относительного сжатия \(\varepsilon\) рассматриваемого элемента имеем \[\varepsilon = \frac{\Delta l}{l} = \frac{\sigma}{E} = \frac{\rho g h}{2E},\] где \(\Delta l\) — деформация элемента. Если считать, что относительная деформация будет у всей колонны, то её полная деформация будет такой: \[\Delta h = \varepsilon h = \frac{\rho g h^2}{2E} = 2{,}4 \cdot 10^{-4}\ \text{м}.\]
Похожие задачи
- Шарик на резиновом шнуре Ведомственная 2011/12, 9 кл.
- Грузик на пружине в воде МОШ 2012/13, 11 кл.
- Система пружин Курчатов 2013/14, 7 кл.
- Пружина, гири и вода в сосуде МОШ 2013/14, 7-11 кл.
- Две пружины ВсОШ 2013/14, 10 кл.
- Консольная балка Санкт-Петербургская 2013/14, 8 кл.