Льдинка с полостью

Сравните объём воды, вытесняемый плавающим льдом с шариком, с объёмом воды и шарика после таяния льда: разность этих объёмов даёт изменение уровня.

Объём, вытесняемый льдом с полостью, равен \(hS = V_{\text{п}} + V_{\text{л}} = V_{\text{п}} + \dfrac{m_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}}}\), где \(V_{\text{л}}\) — объём льда, \(m_{\text{л}}\) — его масса. По закону Архимеда \((m_{\text{л}} + m_{\text{ш}})g = \rho_{\text{в}} g V\); учитывая, что \(m_{\text{ш}} = m_{\text{л}} = m\), получаем \(2m = \rho_{\text{в}} hS\). Отсюда \[V_{\text{п}} = hS - \frac{m}{\rho_{\text{л}}} = hS\left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{2\rho_{\text{л}}}\right).\] После таяния льда вода и шарик вытесняют объём \(m/\rho_{\text{в}} + m/\rho_{\text{ш}}\), а плавающий лёд вытеснял \((m_{\text{л}}+m_{\text{ш}})/\rho_{\text{в}}\). Так как \(\rho_{\text{в}} < \rho_{\text{ш}}\), первый объём больше второго и уровень воды понизится. Разность этих объёмов равна \(S\Delta h\): \[\frac{m_{\text{ш}}}{\rho_{\text{в}}} - \frac{m_{\text{ш}}}{\rho_{\text{ш}}} = S\,\Delta h,\] откуда с учётом \(2m = \rho_{\text{в}} hS\): \[\Delta h = \frac{m}{S}\left(\frac{1}{\rho_{\text{в}}} - \frac{1}{\rho_{\text{ш}}}\right) = \frac{h}{2}\left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{ш}}}\right).\]