Неоднородный брусок

Запишите условие плавания целого бруска и одной половинки, затем найдите среднюю плотность второй половинки.

Пусть средняя плотность бруска \(\rho\), плотность воды — \(\rho_0\). Условие плавания целого бруска: \[\rho gV = \frac23 \rho_0 gV \quad\Rightarrow\quad \rho = \frac23 \rho_0.\] Условие плавания одной половинки бруска со средней плотностью \(\rho_1\): \[\rho_1 g\frac V2 = \frac12 \rho_0 g\frac V2 \quad\Rightarrow\quad \rho_1 = \frac12 \rho_0.\] С другой стороны, средняя плотность бруска связана со средними плотностями его половинок \(\rho_1\) и \(\rho_2\): \[\rho = \frac{\rho_1\frac V2 + \rho_2\frac V2}{V} = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}.\] Отсюда средняя плотность второй половинки \[\rho_2 = 2\rho - \rho_1 = \frac43 \rho_0 - \frac12 \rho_0 = \frac56 \rho_0 < \rho_0,\] и, следовательно, вторая половинка бруска тоже будет плавать.

Чтобы полностью утопить ее в воде, к ней нужно приложить силу, равную разности силы Архимеда и силы тяжести: \[F = \rho_0 g\frac V2 - \rho_2 g\frac V2 = \frac1{12}\rho_0 gV = \frac1{12}\cdot\frac32 \rho gV = \frac18 mg.\] Таким образом, чтобы утопить брусок в жидкости, к нему нужно приложить минимальную силу \(F = mg/8\), направленную вертикально вниз.