Резиновый жгут в стакане с водой

Жесткость жгута обратно пропорциональна его длине. Запишите равенство силы упругости весу груза отдельно для участка над водой и для участка под водой.

Пусть налит слой воды высотой \(h\); длина участка жгута над поверхностью равна \(l - h\). Недеформированная длина всего жгута \(l_0 = l - \Delta l = 80\) см. Жесткость участка жгута обратно пропорциональна его длине, поэтому жесткость участка над водой \(k_1 = kl_0/l_1\), где \(l_1\) — недеформированная длина этого участка. Поскольку сила упругости равна силе тяжести груза \(mg\): \[l - h = l_1 + \frac{mg}{k_1} = l_1\left(1 + \frac{mg}{kl_0}\right) \quad\Rightarrow\quad l_1 = \frac{l - h}{1 + \dfrac{mg}{kl_0}}.\] Аналогично для участка под водой, жесткость которого при полном охлаждении равна \(4k\) (и \(k_2 = 4kl_0/l_2\)): \[h = l_2 + \frac{mg}{k_2} = l_2\left(1 + \frac{mg}{4kl_0}\right) \quad\Rightarrow\quad l_2 = \frac{h}{1 + \dfrac{mg}{4kl_0}}.\] Так как \(l_1 + l_2 = l_0\), получаем уравнение \[\frac{l - h}{1 + \dfrac{mg}{kl_0}} + \frac{h}{1 + \dfrac{mg}{4kl_0}} = l_0,\] откуда высота уровня воды, при которой груз оторвется от дна, \[h = \frac{4kl_0}{3mg}\left(1 + \frac{mg}{4kl_0}\right)\left(\frac{mg}{k} - \Delta l\right) = 60~\text{см}.\]