Ракета с максимальной энергией

Найдите производную кинетической энергии по времени, используя уравнение движения ракеты (закон сохранения импульса) для изменения ее скорости.

Кинетическая энергия ракеты \(K = \dfrac{mv^2}{2}\), где \(m\) и \(v\) — масса и скорость ракеты в данный момент. Ее производная по времени \[\frac{dK}{dt} = \frac{v^2}{2}\,\frac{dm}{dt} + mv\,\frac{dv}{dt}.\] По закону сохранения импульса в системе отсчета, связанной с ракетой, изменение ее скорости за малое время \(dt\) равно \(m\,dv = -v_0\,dm\), т.е. \(m\,\dfrac{dv}{dt} = v_0\,\mu\), где \(\mu = -\dfrac{dm}{dt} > 0\) — постоянный массовый расход. Тогда \[\frac{dK}{dt} = -\frac{\mu v^2}{2} + \mu v_0 v.\] Приравнивая производную нулю, получим \(v = 2v_0\). Т.е. кинетическая энергия ракеты максимальна, когда ее скорость вдвое больше скорости продуктов сгорания относительно ракеты.