Три вольтметра в цепи

Сопротивление вольтметра и резистора связаны условием, которое следует из того, что показание вольтметра \(V_2\) меньше показания \(V_1\). Найдите сопротивление участка с двумя вольтметрами и через него — токи в цепи.

Пусть сопротивление вольтметра \(R\), сопротивление резистора \(r\). Показание вольтметра \(V_2\) меньше показания \(V_1\) в три раза: \(U_1 = 3U_2\). Вольтметры \(V_1\) и \(V_3\) вместе с участком из вольтметра \(V_2\) и резистора образуют контур, для которого \[U_3 = U_1 + U_2 \quad\Rightarrow\quad 3U_2 + U_2 = 10\text{ В} \quad\Rightarrow\quad U_2 = 2{,}5\text{ В},\quad U_1 = 7{,}5\text{ В}.\] Ток через \(V_1\) равен \(I_1 = U_1/R\) и делится на участке из параллельно соединенных вольтметра \(V_2\) и резистора: \(I_1 = \dfrac{U_2}{R} + \dfrac{U_2}{r}\). Отсюда \(\dfrac{U_1}{R} = U_2\left(\dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{r}\right)\), т.е. \(3 = 1 + \dfrac{R}{r}\), а значит, \(R = 2r\).

Через резистор \(r\), стоящий последовательно с источником, течет ток \(I_3 + I_1 = \dfrac{U_3 + U_1}{R}\), поэтому напряжение источника \[U_{\text{ист}} = U_3 + \frac{r}{R}\,(U_3 + U_1) = 10\text{ В} + \frac{1}{2}\cdot 17{,}5\text{ В} = 18{,}75\text{ В} = \frac{75}{4}\text{ В}.\]