Крутильные колебания стержня на нитях

При повороте стержня на малый угол точки крепления нитей смещаются по горизонтали, и стержень немного поднимается. Найдите потенциальную энергию как функцию угла поворота и кинетическую энергию тел.

Отклоним стержень на малый угол \(\varphi\). Кинетическая и потенциальная энергии для малых углов имеют вид \(K = \dfrac{A\omega^2}{2}\), \(\Pi = \dfrac{B\varphi^2}{2}\), где \(\omega = \dot\varphi\), и отношение \(B/A\) равно квадрату круговой частоты колебаний.

При повороте точки крепления нитей смещаются по горизонтали на \(\Delta x = \dfrac{l\varphi}{3}\), поэтому нити отклоняются от вертикали на угол \(\alpha = \dfrac{l}{3h}\,\varphi\). Стержень при этом поднимается на \[\Delta h = h\left(1 - \cos\alpha\right) \approx \frac{h\alpha^2}{2} = \frac{l^2\varphi^2}{18h}.\] Потенциальная энергия шариков увеличивается на \[\Delta\Pi = 2mg\,\Delta h = \frac{mgl^2\varphi^2}{9h}.\] Кинетическая энергия шариков (каждый движется со скоростью \(\frac{l}{2}\omega\)): \[K = \frac{2m v^2}{2} = \frac{ml^2\omega^2}{4}.\] Отсюда квадрат круговой частоты \[\omega_{\text{кол}}^2 = \frac{B}{A} = \frac{2mgl^2}{9h} : \frac{ml^2}{2} = \frac{4g}{9h} \quad\Rightarrow\quad \omega_{\text{кол}} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{g}{h}}.\]