Транспортёр на боку

Сила трения со стороны пола направлена против скорости бруска. Сила трения со стороны ленты ограничена величиной \(\mu_2 N\). Рассмотрите два случая: проскальзывание бруска по ленте есть или его нет.

Сила трения, действующая со стороны пола на брусок, направлена против вектора скорости бруска и равна \(F_{\text{Тр.1}} = \mu_1 m g\). Сила трения, действующая на брусок со стороны транспортёра, \(F_{\text{Тр.2}} \le \mu_2 N\), где \(N = F_{\text{Тр.1}}\cos\alpha\). С другой стороны, \(F_{\text{Тр.2}}\) уравновешивается силой \(F_{\text{Тр.1}}\): \(F_{\text{Тр.2}} = F_{\text{Тр.1}}\sin\alpha\), где \(\alpha\) — угол между скоростью бруска и направлением \(u\). Здесь возможны два случая.

1-й случай (есть проскальзывание между бруском и лентой): \[F_{\text{Тр.2}} = \mu_2 N = \mu_2 F_{\text{Тр.1}}\cos\alpha = F_{\text{Тр.1}}\sin\alpha.\] Отсюда \(\operatorname{tg}\alpha = \mu_2\). Этот случай возможен, когда \(\upsilon/u \ge \mu_2\). При этом скорость бруска вдоль ленты меньше скорости ленты, т.е. происходит проскальзывание.

2-й случай (проскальзывания между бруском и лентой нет): \(\upsilon/u = \operatorname{tg}\alpha\). Этот случай возможен при \(\upsilon/u \le \mu_2\).

Смещение бруска вдоль оси \(y\) найдём из геометрических соображений: \(y = s\operatorname{tg}\alpha\). Путь, пройденный бруском в первом случае, равен \[L_1 = s\sqrt{1+\operatorname{tg}^2\alpha} = s\sqrt{1+\mu_2^2},\] а во втором — \[L_2 = s\sqrt{1+\left(\dfrac{\upsilon}{u}\right)^2}.\]

Работа по перемещению бруска в обоих случаях равна \(A = L\,F_{\text{Тр.1}} = \mu_1 m g L\), так как сила, действующая на брусок со стороны транспортёра, уравновешивается силой трения со стороны пола (брусок движется с постоянной скоростью). Конкретно: \[A_1 = \mu_1 m g s\sqrt{1+\mu_2^2}, \qquad A_2 = \mu_1 m g s\sqrt{1+\left(\dfrac{\upsilon}{u}\right)^2}.\]